PENDAHULUAN
Proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang selalu memiliki nilai
kebenaran, baik itu bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Berikut
ini merupakan contoh kalimat yang merupakan proposisi maupun yang bukan. Kali
ini saya akan membahas tentang salah satu materi yang termasuk ke dalam logika
matematika yaitu Proposisi. Lebih lengkapnya akan di bahas di bagian teori. adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak
dapat sekaligus Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan
logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam
penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition). Proposisi
keduanya, Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai
kebenarannya (truth value).
TEORI
1.
Konsep dan Notasi Dasar
Yaitu
berupa kalimat deklaratif yang bernilai benar (T atau true) atau salah (F atau
false), tetapi tidak keduanya. Contohnya :
·
10 adalah bilangan
genap
·
10 x 2 = 20
·
Hari ini adalah
hari Jumat
·
X + Y = Y + X untuk
setiap x dan y bilangan riil.
2.
Proposisi dan Tabel Kebenaran
Tabel
Kebenaran (Truth Table) adalah alat atau tabel yang digunakan untuk memberikan
nilai dengan aturan tertentu. Tabel kebenaran menunjukkan secara
sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari
proposisi-proposisi yang sederhana. Untuk melengkapi tabel kebenaran proposisi,
terlebih dahulu kita harus mengetahui berapa banyak pernyataan yang termuat
yang berlainan dalam tabel itu. Langkah ini mutlak diperlukan agar tidak
ada kemungkinan komposisi nilai kebenaran yang mungkin tak tertuliskan.
·
Proposisi
Proposisi adalah
kalimat atau pernyataan yang selalu memiliki nilai kebenaran, baik itu bernilai
benar atau salah tetapi tidak keduanya. Berikut ini merupakan contoh kalimat
yang merupakan proposisi maupun yang bukan.
a.
4 adalah bilangan genap.
b.
Soekarno adalah Presiden Indonesia yang
pertama
c.
Universitas Jendral Soedirman terletak di
Temanggung.
d.
x + y = 2.
e.
Dimana letak pulau Jawa?
Kalimat
a dan b adalah kalimat proposisi yang bernilai benar. Kalimat c adalah kalimat
proposisi yang bernilai salah. Sedangkan kalimat d dan e bukan merupakan
kalimat proposisi.
Proposisi
biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,….. misalnya:
p :
4 adalah bilangan genap.
q :
Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
r :
Uni∨ersitas Jendral Soedirman
terletak di Temanggung.
3. Tautologi dan Kontradiksi
·
TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar. Contoh pernyataan tautologi adalah:
(p ʌ q) => q
untuk
membuktikan pernyataan diatas adalah tautologi, simak tabel kebenaran untuk tautologi (p ʌ q)
=> q berikut;
contoh lain pernyataan tautologi adalah:
a. ((p => q) ʌ (r => q)) => ((p v r) =>q
b. (p ʌ ~q) => p
contoh lain pernyataan tautologi adalah:
a. ((p => q) ʌ (r => q)) => ((p v r) =>q
b. (p ʌ ~q) => p
·
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah. Contoh pernyataan
p ʌ (~p ʌ q)
tabel kebenaran pernyataan kontradiksi p ʌ (~p ʌ q):
contoh lain pernyataan kontradiksi adalah:
(p ʌ ~p)
4. Ekuivalen Logika
Ekuivalen adalah dua atau
lebih pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama. Contoh ekuivalen:
~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q
tabel kebenaran pernyataan ekuivalen ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q:
Hukum-hukum ekuivalen:
a. Hukum Komutatif
p ʌ q ≡ q ʌ p
p v q ≡ q v p
b. Hukum Distributif
p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)
c. Hukum Asosiatif
(p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)
(p v q) v r ≡ p v (q v r)
d. Hukum Identitas
p ʌ T ≡ p
p v F ≡ p
e. Hukum Dominasi / Ikatan
~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q
tabel kebenaran pernyataan ekuivalen ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q:
Hukum-hukum ekuivalen:
a. Hukum Komutatif
p ʌ q ≡ q ʌ p
p v q ≡ q v p
b. Hukum Distributif
p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)
c. Hukum Asosiatif
(p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)
(p v q) v r ≡ p v (q v r)
d. Hukum Identitas
p ʌ T ≡ p
p v F ≡ p
e. Hukum Dominasi / Ikatan
p v
T ≡ T
p v F ≡ F
f. Hukum Negasi
p v ~p ≡ T
p ʌ ~p ≡ F
g. Hukum Involusi / Negasi Ganda
~(~p) ≡ p
h. Hukum Idempoten
p ʌ p ≡ p
p v p ≡ p
i. Hukum De Morgan
~( p ʌ q ) ≡ ~p v ~q
~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q
j. Hukum Absorbsi / Penyerapan
p v (p ʌ q) ≡ p
p ʌ (p v q) ≡ p
k. Hukum True dan False
~T ≡ F
~F ≡ T
l. Hukum Perubahan Implikasi menjadi Disjungsi atau Konjungsi.
p => q ≡ ~p v q
f. Hukum Negasi
p v ~p ≡ T
p ʌ ~p ≡ F
g. Hukum Involusi / Negasi Ganda
~(~p) ≡ p
h. Hukum Idempoten
p ʌ p ≡ p
p v p ≡ p
i. Hukum De Morgan
~( p ʌ q ) ≡ ~p v ~q
~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q
j. Hukum Absorbsi / Penyerapan
p v (p ʌ q) ≡ p
p ʌ (p v q) ≡ p
k. Hukum True dan False
~T ≡ F
~F ≡ T
l. Hukum Perubahan Implikasi menjadi Disjungsi atau Konjungsi.
p => q ≡ ~p v q
5. Aljabar Proposisi
Setiap
proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu
dengan yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:
a. Hukum
Idempoten (Idem)
p∨p ek
p
p∧p ek p
b. Hukum Asosiatif
(As)
(p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
(p∧q)∧r ek p∧(q∧r)
c. Hukum
Komutatif (Kom)
p∨q ek q∨p
p∧q ek q∧p
d. Hukum Distributif
(Dist)
p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)
e. Hukum
Identitas (Id)
p∨F ek p
p∨T ek T
p∧F ek F
p∧T ek p
f. Hukum
Komplemen (Komp)
p∨∼p ek T
p∧∼p ek F
∼(∼p) ek
p
∼T ek F
g. Hukum Transposisi
(Trans)
p⇒q ek ∼q⇒∼p
h. Hukum Implikasi
(Imp)
p⇒q ek ∼p∨q
i. Hukum
Ekivalensi (Eki)
p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)
j. Hukum
Eksportasi (Eksp)
(p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)
k. Hukum De Morgan
(DM)
∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
∼(p∧q) ek ∼p∨∼q
6. Implikasi Logik
§ Misalkan
P(p,q,…) dan Q(p,q,…) adalah proposisi. Maka tiga kondisi di bawah ini adalah
ekuivalen.
- ~P(p,q,…) Ú Q(p,q,…) adalah
tautologi.
- P(p,q,…) Ù Q(p,q,…) adalah
kontradiksi
- P(p,q,…) → Q(p,q,…) adalah
tautology
§ Suatu
proposisi P(p,q,…) disebut implikasi logic ke proposisi Q(p,q,…) dinyatakan
dengan : P(p,q,…) → Q(p,q,…) Bila satu dari ketiga kondisi di atas berlaku.
7.
Fungsi Proposisi dan Himpunan
Kebenaran
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan
D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah
fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi. Contoh
:
1. Misalkan
P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan
bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D
karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D,
P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat
diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2,
diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.
2. Fungsi
proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli.
Maka {x | x Î N, x+2>7} =
{6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.
8.
Pengukur Jumlah Universal
Pernyataan
yang menggunakan kata semua atau setiap disebut pernyataan berkuantor
universal. Kata semua atau setiap disebut kuantor universal. Berikut beberapa
contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal.
a.
Semua kuda berlari cepat.
b.
Setiap bilangan asli lebih besar daripada no l.
Kalimat
terbuka p(x) dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada
kalimat terbuka itu dengan nilai-nilai pengganti pada himpunan yang telah
ditentukan. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan adalah
dengan membubuhkan kuantor universal di depan kalimat terbuka itu. Misalkan
p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari
p(x) dituliskan sebagai berikut.
" x,
p(x)
dibaca:
untuk setiap x berlakulah p(x) atau untuk semua x berlakulah p(x)
Perhatikan
contoh berikut.
p :
Semua kucing berwarna putih
ingkaran
dari p adalah ~p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih, atau
~p
: Ada kucing yang tidak berwarna putih
Berdasarkan
contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah
sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari
pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut.
~[" x,
p(x)] º $ x,
~p(x)
dibaca:
ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang
bukan p(x)”
9.
Negasi Ingkaran
Kalimat
ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu
pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan
pernyataan sebelumnya.
Beberapa
negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada table berikut.
Tabel
nilai kebenaran Negasi :
Contoh
:
Tentukan
ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.
( 1
) p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.
( 2
) s : 2 + 2 = 5
( 3
) t : Pinguin adalah Burung
Jawab
:
( 1
) p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.
~p
: Ibukota Jawa Barat Bukan Surabaya.
p
bernilai S ( salah ) dan ~p bernilai B ( benar )
( 2
) s : 2 + 2 = 5
~s
: 2 + 2 ≠ 5
s
bernilai S ( salah ) dan ~s bernilai B ( benar )
( 3
) t : Pinguin adalah burung.
~t
: Pinguin bukan burung.
t
bernilai B ( benar ) dan ~t bernilai S ( salah )
ANALISIS
Proposisi
adalah suatu keputusan. Keputusan yang dipermasalahkan dalam filsafat logika
adalah keputusan yang berhubungan dengan term-term yang terangkai dalam suatu
kalimat. Jadi proposisi atau keputusan adalah pernyataan tentang relasi yang
terdapat diantara dua buah term. Suatu proposisi mempunyai tiga unsur sebagai
berikut:
1. Subyek
2. Predikat;
3. Kopula (penghubung antara subyek dan
predikat).
Misalnya proposisi: ‘Semua manusia adalah hamba Allah’. Semua manusia sebagai subyek; hamba Allah sebagai
predikat; adalah sebagai
kopula. Menurut logika tradisional, proposisi mestinya terdiri atas tiga
bagian, yaitu subyek, predikat dan kopula. Kopula mesti ada dan fungsinya
menyatakan hubungan yang terdapat antara subyek dan predikat. Hubungan yang
dinyatakan oleh kopula mungkin berupa afirmasi, artinya kopula menyatakan bahwa
diantara subyek dan predikat tidak terdapat suatu hubungan apapun. Dalam Logika
dikenal adanya dua macam proposisi, menurut sumbernya, yaitu proposisi analitik
dan proposisi sintetik. Proposisi analitik adalah proposisi yang predikatnya
mempunyai pengertian yang sudah terkandung pada subyeknya, seperti : Burung
adalah hewan. Kata “hewan” pengertiannya sudah terkandung pada subyek “burung”.
Jadi predikat pada proposisi analitik tidak mendatangkan pengetahuan baru.
Untuk menilai benar tidaknya proposisi serupa kit lihat ada tidaknya
pertentangan dalam diri pernyataan itu. Prposisi analitik disebut juga
proposisi a priori. Proposisi sintetik adalah proposisi yang predikatnya
mempunyai pengertian yang bukan menjadi keharusan bagi subyeknya, seperti : Manggis
itu manis. Kata “manis” pengertiannya belum terkandung ada subyeknya, yaitu
“manggis”. Jadi kata “manis” merupakan pengetahuan baru yang didapat melalui
pengalaman. Roosisi sintetik adalah lukisan dari kenyataan empirik maka untuk
menguji benar salahnya diukur berdasarkan sesuai tidaknya dengan kenyataan
empiriknya. Proposisi ini disebut proposisi a posteriori.
Komentar
Posting Komentar